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第九十二章 微积分的故事（第1页）

翌日。清晨时分，旭日东升，一抹朝阳落在清华园。西院第28号房。书房内。窗户染了一层白霜，一缕缕阳光透过窗户照进无奈，屋内静谧无声，一个木制立式黑板搬进了书房。“要学微积分，首先你要搞懂微积分是什么，不能知其然，不知其所以然。”

华罗庚立于黑板旁边，写下了六个字。微积分是什么。“我们先从最基础的求面积讲起，在古希腊时期，阿基米德那个时代人，处于初步发展阶段的几何，数学家们遇到一个棘手且严峻的问题，那就是求面积，三角形和正方形这些图形有面积公式，所以求解很简单，但问题在于，那些不规则图形的面积该怎么求？”

“例如我现在画的这条S型曲线，这条曲线围成的面积需要求解，但没有公式，这个时候，如何求解一条曲线围成的面积，就成为了当时数学家们研究的问题。”

“阿基米德找到了办法，余华，你知道是什么办法吗？”

华罗庚目光看向余华。“穷竭法，用熟悉的图形去无限逼近曲线围成图形的面积。”

余华回答道。“对，穷竭法，提出者安提芬，改进者欧多克斯，完善者阿基米德，穷竭法思想就是用无限个熟悉图形去求一条曲线围成图形的面积，在数学史上，穷竭法被视为微积分的前身，且严谨性无可挑剔。”

华罗庚右手握着粉笔，画出穷竭法的求解过程，用一个个三角形去填充S型曲线所围成的面积，最终求出面积大小。整个过程极为繁琐，但无比严谨。华罗庚求解完成，随即用板刷擦去公式和图形，又重新写下一个新的概念，通过矩形求面积：“穷竭法沿用到了十七世纪，这一千多年历史之中，有我国的割圆术求面积，但计算过于复杂，并不适用，穷竭法自身局限性也逐渐明显，对于不同曲线围成的面积需要使用不同的图形去逼近，而不同图形的证明技巧并不一样，极为繁琐，这个时期数学界出现‘用矩形来逼近原图形’，思想与穷竭法一致，且更加简单，但矩形求解存在一个问题，那就是失去了严谨性，这是一个非常严重的情况。”

严谨是数学的灵魂。失去简单性，数学失去很多愚笨者。失去严谨，数学将会失去一切。如果一个定理，一个公式，一个数学常数失去了严谨性，那意味着整个数学大厦的崩塌。余华全神贯注聆听，关于华罗庚讲解的重点，尽数记入脑海之中，理解程度非常迅速。“牛顿和莱布尼茨对于矩形求解存在的问题非常重视，经过这两位数学家的不懈研究，牛顿和莱布尼茨意外发现了一个关键性东西，也就是微积分最基本和最重要的核心思想，那就是微分与积分之间的互逆运算，用数学公式表达为微积分基本定理。”

华罗庚面容严肃，在黑板上写下了微积分基本定理：“而在此前，微分和积分，还是两个单独学科，微分求导数，积分求面积，互不相干，在牛顿和莱布尼茨的作用下，微积分完整体系建立。”

微分与积分之间的互逆运算。这是微积分的核心，至此，人类文明发展史上极为重要的微积分诞生，微积分基本定理又被称为牛顿——莱布尼茨公式。真是天才……余华聆听了微积分诞生的历史进程，心中微微感叹，将两个单独的学科联系在一起，并且敏锐发现微分和积分之间的互逆运算，不愧是历史上两位最顶尖的大牛。互逆运算是什么概念？简单而言，那就是求面积的问题，可以转变为求导数，求导数的问题转变为求面积，互相变换。如果积分之路走不通，那就从低维度研究转变为高维度研究，用微分解决问题。如果微分之路走不通，那就从高维度研究转变为低维度研究，用积分解决问题。此外，还可逆向积分求面积。若你要问它的意义在哪里？意义非常重要，在于极大程度上缩减了繁琐的计算过程，简化计算难度，极大提升数学各分支的发展效率。微积分能求的东西实在是太多了，例如微分导数的极值。极值非常重要，大炮发射的炮弹飞行极限距离，一船货物利润数据，从某地出发到某地之间的那条路线距离最近等等。这是科学研究最重要的工具，亦是由人类亲自创造的数学武器。“当然，这个时候的微积分体系还不算完美，无穷小量问题使得微积分的基础并不稳固，无穷小量的问题在于通过动态方式来定义极限，一个量在逼近0的过程中，有无数个实数，这样是行不通的，由此引发第二次数学危机，后来数学家柯西和魏尔斯特拉斯重新定义了极限，至此，微积分的基础终于稳固，后来由法国数学家勒贝格研究的勒贝格积分，为微积分收官。”

华罗庚缓缓讲述关于微积分和无穷小量之间的关系，转而在黑板上写出一串公式，这是勒贝格积分：“我在英国剑桥大学留学期间，曾经有幸去了一趟法国，见到勒贝格先生，收益很大，不过，关于微积分在无穷小的领域，我认为还有很大研究价值，日后你可以尝试一下这个领域，微积分既是数学研究的基础，更是科学研究的工具，明白吗？”

“明白。”

余华听闻，点了点头，记下华罗庚送给他的一个数学研究方向。华罗庚点头，正色道：“在知道微积分是什么之后，我们学习起来就更加容易，接下来讲函数、导数与极限，第一本书你看了多少？”

“看完三分之一部分，函数和导数都懂。”

余华回应道，昨晚学习时间不长，他只看了《导数与极限》的三分之一。“好，那就从极限开始讲起。”

华罗庚听闻，眼中透出赞赏之色，顿了顿，细细讲解：“微积分的极限定义为……”

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